 |
Если взять кольцо из тонкой проволоки или нейлоновой нити, прикрепить к нему на равных расстояниях в шести точках растяжки из таких же нитей и начать равномерно во всех направлениях растягивать, то образуется устойчивый равносторонний шестиугольник. Сумма таких растянутых повторяющихся многоугольников даст сеть — легкую конструкцию, все тросы которой работают ml растяжение.
Этот угол впервые определил Маральди в 1712 г.
Рис. 2. Природные формы состоящие из сборных стандартных элементов — еловые шишки
Рис. 3. Амфоридия — морской организм (изотропное заполнение поверхности треугольниками и шестиугольниками) Возникшие в каких-либо условиях правильные шестиугольники или шестигранные призмы, составленные вместе, обеспечивают при одной и той же площади основания, по сравнению с другими правильными многоугольниками и призмами одинаковой высоты, экономию в покрытии поверхности. И, одновременно, если площадь плотно покрыть равным числом равновеликих по площади правильных нитяных многоугольников, то наименьшая общая длина образованной решетки будет в случае покрытия плоскости шестиугольниками. Если же взять в таком же положении одинаковой высоты призмы, то, следовательно, при шестиугольной призме будут меньшими и затраты материала на перегородки — диафрагмы.
Этот факт науке давно известен, причем основой для исследования и выводов послужила, по-видимому, живая природа — пчелиные соты. Интересно выяснить соотношения затрат материала на перегородки-диафрагмы в композициях из различных правильных многоугольников и, в частности, насколько шестиугольник и шестигранная призма экономичнее других фигур. Кроме того, интересно было бы знать, в каких именно композициях эта экономия соблюдается и где ее пределы. Исследование этих моментов было бы очень полезно для архитектуры.
Вначале исследуем соотношение периметров у взятых отдельно одинаковых по площади фигур: окружности с радиусом г правильного треугольника, квадрата, правильного шестиугольника Т. Соответственно обозначим их площади и периметры:
1
Как уже говорилось, многоугольники с числом сторон более шести, а также пятиугольники не покрывают плотно поверхность, поэтому мы их не стали исследовать; окружность же взяли как предельный вариант каждого многоугольник
выразить стороны всех многоугольников через радиус г взятой окружности.
В окружности: $0 = frr2 и 10-2Лгг.
Найдем периметры сторон для каждой фигуры путем умножения на число сторон. Получим следующие показатели: 1&=6,28г;/| = 7,8г;^=7,08г; ^=6,6 г.
Если мы сравним периметры трех правильных многоугольников с длиной окружности, то они все окажутся больше последней, причем места распределяются следующим образом: на втором месте — шестиугольник, на третьем — квадрат и на четвертом — треугольник. В численном отношении периметр шестиугольника будет в 1,05 раза больше, чем длина окружности; периметр квадрата — в 1,13 раза; треугольника — в 1,24 раза.
Но картина значительно меняется при сочетании одноименных фигур на плоскости, при их комбинационной композиции в "плотных" упаковках.
Составим для эксперимента на основе каждой из взятых фигур композиции из 36 элементов, расположенных равным числом по горизонтали и по вертикали. Окружности могут быть взяты в двухкомпозиционном варианте, т.е. образующие своими центрами в одном случае шестиугольники, а в другом — квадраты.
При таком использовании фигур в наихудшем положении оказывается композиция из окружностей: сумма длин всех окружностей, входящих в композицию, — наибольшая. Наилучшие показатели у шестиугольников, затем у квадратов и треугольников.
Если мы представим себе 36 шестигранных комнат размерами, приведенными к г~3 м, составленных плотно вместе так, как было сделано в наших схемах, то экономия на периметре по сравнению с "кубическими" комнатами составит 14 м, а на 400 комнат (композиция 20x20) указанный метраж увеличится до 160 м. При принятой средней толщине перегородок, равной 20 см, и при высоте комнат 2,7 м (это одновременно и высота многогранников) получится экономия материала около 86,4 мЗ.
Ha основании проведенного эксперимента в композициях из 36 фигур и повторения его в других численных вариантах мы вывели небольшую экспериментальную формулу для облегчения подсчета суммарного числа сторон шестиугольников, составляющих общую длину перегородок-диафрагм как внутренних, так и внешних.
Такая формула применима лишь для композиций, в которых число элементов по вертикали и по горизонтали равно.
Если число перегородок в композиции из правильных шестиугольников обозначить через /Vp/ro
где /Vp — число шестиугольников в ряду, или, что то же самое в данной композиции число рядов.
Отсюда суммарная длина перегородок-диафрагм ( L6 ) может быть получена умножением приведенного выражения на с (или 1,1 г-) , т.е. на длину стороны шестиугольника и L6 = c (3n2 + 4n-1 )•
При умножении же этого выражения на высоту граней можно получить суммарную площадь перегородок-диафрагм, а на толщину перегородок в архитектурном объекте — строительный объем.
Подсчитанные значения N€ и ls no формулам для последовательного арифметического ряда п (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . , /г) (табл. 3} дают возможность сделать для каких-то экспериментальных пределов важный для нас вывод, что суммарная длина диафрагм при одном и том же размере стороны шестиугольника с увеличением числа композиционных элементов замедляет темп своего роста.
Отношение суммарной длины расчетных диафрагм к сумме периметров всех составляющих композицию шестиугольников, взятых отдельно (или сумме их числа сторон) , уменьшается, что легко проверить по табл.3.
Эти выводы означают, что с увеличением числа шестиугольных композиционных элементов в какой-либо архитектурной композиции компактного типа будет повышаться и экономический эффект, связанный с экономией строительного материала.
Действительно, подсчитывая значение N6 и L6 при последовательном изменении п, принимающего значения чисел возрастающего арифметического ряда (2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . , л ) , получим возрастающие ряды: для N6 : 6; 19; 38; 63; 94; 131; 174; 223; . . . ; 3«2+4/t - 1; для /.$ соответственно: 6,6 г; 20,9г; 41,8г-; 69,3г; 102,4г; 144,1г; 191,4г; 245,3^ ..., 1,1г(3г + 4п - 1) , в которых отношения последующих членов обоих рядов к предыдущим с возрастанием рядов уменьшается: 19/6 = =3,16; 38/19=2; 63/38=1,66; 94/63^1,49; 131/94=1,39; 174/131 = 1.33 и т.д. для первого ряда и то же самое будет для второго, так как все его члены получились.
Изменение соотношения длин диафрагм с изменением числа композиционных элементов • композициях плотно собранных на плоскости правильных шестиугольников и квадратов с одинаковым числом рядов по вертикали и горизонтали при стороне квадрата 3 = 1,77 и стороне шестиугольника С=1,1, где г — радиус одинаковой по площади с принятыми фигурами окружности. |
.
страницы: |
рaдизайн
© 2005 
, ссылайтесь... 
