Архивная версия / archive version:

Проект «Архи всЁ» переехал на сайт www.cih.ru
This project was moved to the www.cih.ru

данная версия не обновляется и может быть недоступной через некоторое время

^{см. также: СНиПы | Архитектура | Модерн | Новости | Строительство}

Вы можете найти необходимую информацию на сайте cih.ru / You can find the necessary information on the cih.ru website:

Геометрические особенности пропорции золотого сечения , удивительные математические свойства числовых множеств , функционально связанных с числом 1,618, не раз восхищали древних геометров , художников , скульпторов . Как уже говорилось выше ( см . главу о моделировании ), наглядной геометрической интерпретацией пропорции золотого сечения является деление отрезка прямой на две неравные части так , чтобы большая часть была средним пропорциональным между отрезком и его меньшей частью ( рис . 71, 72).

Если обозначить большую часть отрезка через а ( рис . 71), меньшую через 6 ( целое будет а + 5)

Обозначив отношение — через Ф , получим уравнение

i + J - ф (2)

или Ф 2 — Ф — 1 = 0; положительный корень этого урав­ нения дает искомое отношение :

Ф = 1,618.

Золотое сечение -> деление отрезка на неравные части , сохраняющее между частями то же отношение , что меж - Ду целым и его частями ( рис . 73, 81).

Впервые сведения о золотом сечении встречаются в " Началах '" Евклида ( III в . до н . э .). Во второй книге он дает геометрическое построение , равносильное ре шению квадратного уравнения (2), и затем использу­ ет его при построении правильных пяти - и десятиуголь­ ников , а также двенадцати - и двадцатигранников ( рис . 74). Кстати говоря , пропорция золотого сечения реализуется в разных формах : в биквадрате , в пента­ грамме , в пятиконечной звезде , которая почиталась у пифагорейцев как символ здоровья и др . ( рис . 75, 83, 86).

После Евклида исследованием пропорции золотого сечения занимались Гипсикл ( II в . до н . э .), Папп Алек­ сандрийский ( Ш в . н . э .) и др .

В средневековой Европе с пропорцией золотого се­чения познакомились по арабским переводам " Начал " Евклида . Переводчик и комментатор Евклида Дж . Ком - пано из Новары ( XIII в .) добавил к тринадцатой главе " Начал " предложение , содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей золотого сечения .

Если более или менее придерживаться событий , связанных с проблемой золотого сечения , в их хроно­ логическом порядке , то нельзя обойти молчанием сочинение " Liber abacci " (" Книга об абаке "1), напи­санное в 1202 г . знаменитым итальянским математи­ком Леонардо из Пизы ( около 1170-1250), который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи ( т . е . сын доброй природы ). Эта книга представляет собой объемный труд , содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени . Она сыграла заметную роль в развитии математики в Западной Ев­ ропе в течение последующих столетий ; именно благо­ даря этой книге европейцы познакомились с индус­ скими (" арабскими ") цифрами . Одна из задач в дошед­ шем до нас втором варианте книги (1228) привела к открытию математического ряда чисел со свойствами золотого сечения . В честь автора этой задачи ряд этих чисел был назван рядом Фибоначчи .

Знаменитая задача формулируется следующим обра­ зом :

" Некто поместил пару кроликов в некоем месте , огоро­ женном со всех сторон стеной , чтобы узнать , сколько пар кро­ ликов родится при этом в течение года , если природа кроликов такова , что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару , а рождают кролики со второго месяца после сво­ его рождения .

Абак — счетная доска .

Так как первая пара в первом месяце дает потом­ ство , удвой , и в этом месяце окажутся 2 пары ; из них одна па pa , а именно первая , рождает и в следующем месяце , так что во втором месяце оказывается 3 пары ; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство так , что в третьем меся­це родятся еще 2 пары кроликов , и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; из них в этом же месяце будут давать по­томство 3 пары , и число пар кроликов в четвертом месяце дос­тигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар , которые , сло­женные с 8 парами , дадут в пятом месяце 13 пар ; из них 5 пар , рожденных в этом месяце , не дают в том же месяце потомства , а остальные 8 пар рождают , так что в шестом месяце оказывается 21 пара ..." и т . д . [ 18].

В итоге из этих чисел можно составить ряд : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.. .

Одно из интересных свойств этого ряда заключает­ ся в том , что каждый член ряда равен сумме двух предыдущих .

Золотое сечение является пределом отношения двух соседних чисел ряда Фибоначчи ; этот предел вычисля­ ется тем точнее , чем дальше отстоят эти числа от начала последовательности . Так , например , 3:5 = 0,600 . . . ,

5:8 = 0,625 ..., 21:34 = 0,6176 ..., 55:89 = 0,61818 ______

233:377 =0,618037... и т . д .

В ХУ— XVI вв . усилился интерес к пропорции золо­ того сечения среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии , так и в искусстве , осо­ бенно в архитектуре .

В 1496 — 1499 гг . итальянский математик Лука Па чиоли под влиянием взглядов своего друга Леонардо да Винчи посвятил пропорции золотого сечения востор­ женную книгу " О божественной пропорции " 1, вышед­ шую в 1509 г . Леонардо да Винчи выполнил и гравюры для книги Пачиоли и ввел самый термин " золотое сечение " — " Sectio aurea ".

Гениальный немецкий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер с 1500 г . работал над воплощением гармонического образа человека , построенного на изу­ чении классических образцов . В то же время Дюрер приступил к научному изучению человеческого тела , стремясь найти идеальные пропорции и на их основе построить совершенную фигуру . В период 1500 — 1504 гг . он выполнил ряд рисунков обнаженной человеческой фигуры . Осенью 1506 г . А . Дюрер отправился из Ве­ неции в Болонью , где жил Пачиоли , чтобы быть посвя­ щенным в законы " тайной перспективы " [19]. Итог этой работы ом подвел в своих известных трех издани­ ях — " Книга о пропорциях ", над которыми работал более десяти лет , начиная с 1515 г . К научным поиско­ вым такого рода рисункам Дюрера близка гравюра на меди " Адам и Ева " (1504 г .) [ 20].

О золотом сечении писал в одном из своих ранних произведений И . Кеплер (1596 г .). Он первым упомя­ нул о значении золотого сечения в ботанике , говоря о нем , как о " бесценном сокровище , как об одном из двух сокровищ геометрии ", именуя его " Sectio di - vina " — " божественное сечение " (" второе сокровище " геометрии — теорема Пифагора ).

Кеплер был последним апологетом тайных качеств божественной пропорции , воспетой им на музыкаль­ ном латинском языке . Затем золотое сечение было предано забвению , и в течение более 200 лет никто о нем не вспоминал . В 1850 г . немец А . Цейзинг открыл его снова . В своих " Aesthetische Forschungen " (" Эс­тетические исследования ), напечатанных в 1855 г ., он говорит :

" Для того чтобы целое , разделенное на две неравные части , казалось прекрасным с точки зрения формы , между меньшей и большей частями должно быть то же отношение , что и между большей частью и целым " [ 19].

Paciuolo Fra Luca. De divina proportione. Venezia 1509.